Синус, косинус і тангенс кута від 0 до 180

У верхній півплощині координатної площини розглянемо півколо із центром у початку координат, радіус якого дорівнює 1 (рис. 1.1). Таке півколо називають одиничним.

Будемо говорити, що куту $\alpha$ (0° ⩽ $\alpha$ ⩽ 180°) відповідає точка M одиничного півкола, якщо ∠MOA = $\alpha$ , де точки O і A мають відповідно координати (0; 0) і (1; 0) (рис. 1.1). Наприклад, на рисунку 1.1 куту, який дорівнює 90°, відповідає точка C; куту, який дорівнює 180°, – точка B; куту, який дорівнює 0°, – точка A.

Нехай $\alpha$ – гострий кут. Йому відповідає деяка точка M (x; y) дуги AC одиничного півкола (рис. 1.2). У прямокутному трикутнику OMN маємо:

\cos \alpha = \frac{ON}{OM}

\sin \alpha = \frac{MN}{OM}

Оскільки OM = 1, ON = x, MN = y, то:

\cos \alpha = x

\sin \alpha = y

Отже, косинус і синус гострого кута $\alpha$ , якому відповідає точка M одиничного півкола, – це відповідно абсциса й ордината точки M.

Отриманий результат підказує, як означити синус і косинус довільного кута $\alpha$ , де 0° ⩽ $\alpha$ ⩽ 180°.

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, установити, що $\sin 0^\circ = 0$ , $\cos 0^\circ = 1$ , $\sin 90^\circ = 1$ , $\cos 90^\circ = 0$ , $\sin 180^\circ = 0$ , $\cos 180^\circ = -1$ .

Якщо M (x; y) – довільна точка одиничного півкола, то -1 ⩽ x ⩽ 1 і 0 ⩽ y ⩽ 1. Отже, для будь-якого кута $\alpha$ , де 0° ⩽ $\alpha$ ⩽ 180°, маємо:

0 ⩽

\sin \alpha

⩽ 1,
-1 ⩽

\cos \alpha

⩽ 1.

Якщо $\alpha$ – тупий кут, то абсциса точки, що відповідає цьому куту, є від’ємною. Отже, косинус тупого кута є від’ємним числом. Справедливе й таке твердження: якщо $\cos \alpha < 0[/katex], то [katex]\alpha[/katex] – тупий або розгорнутий кут.</p> <p style="margin-bottom: 1rem; text-align: justify;">Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого кута [katex]\alpha$ виконуються рівності:

$\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ ,
$\cos (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

$\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ ,
$\cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$

Якщо $\alpha$ – гострий кут, то, як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, є справедливою тотожність, яку називають основною тригонометричною тотожністю:

\mathbf{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}

Ця рівність залишається правильною для $\alpha = 0^\circ$ , $\alpha = 90^\circ$ , $\alpha = 180^\circ$ (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай $\alpha$ – тупий кут. Тоді кут 180° - $\alpha$ є гострим. Маємо:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\sin (180^\circ - \alpha))^2 + (-\cos (180^\circ - \alpha))^2 =

= \sin^2 (180^\circ - \alpha) + \cos^2 (180^\circ - \alpha) = 1

Отже, рівність $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ виконується для всіх 0° ⩽ $\alpha$ ⩽ 180°.

Означення:

Тангенсом кута $\alpha$ , де 0° ⩽ $\alpha$ ⩽ 180° і $\alpha \neq 90^\circ$ , називають відношення $\mathbf{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}$ , тобто:

\mathbf{\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}