Приклади для презентації 8 клас

1. Завдання (Вибір однієї відповіді) [Ключовий етап розв’язання]

(Створено на основі скриншоту: image_cf2fe2.png, завдання 3)

Умова: Розглядається раціональний вираз \frac{5a}{a-10}. Потрібно визначити допустимі значення змінної a.

Запитання (ГР1.1): Яка умова (нерівність або рівняння) є необхідною для визначення допустимих значень змінної в цьому виразі?

1. 5a \neq 0
2. a - 10 \neq 0
3. a - 10 = 0
4. a - 10 \ge 0

---

2. Завдання (Вибір однієї відповіді) [Вибір методу]

(Створено на основі скриншоту: image_cf2114.jpg, завдання 4)

Умова: Необхідно виконати ділення двох раціональних дробів: \frac{3m^3}{m^2-9} : \frac{m^2}{m+3}.

Запитання (ГР1.1): Оберіть вираз, який демонструє правильне застосування правила ділення дробів (перехід до множення) для цієї ситуації, без подальших спрощень.

1. \frac{3m^3}{m^2-9} \cdot \frac{m^2}{m+3}
2. \frac{m^2-9}{3m^3} \cdot \frac{m^2}{m+3}
3. \frac{3m^3}{m^2-9} \cdot \frac{m+3}{m^2}
4. \frac{3m^3}{m^2-9} : \frac{m+3}{m^2}

---

3. Завдання (Вибір декількох відповідей) [Аналіз властивостей]

(Створено на основі скриншоту: image_cf1d57.png, завдання 4 та 5)

Умова: Розглядаються властивості степеня з цілим показником для довільних чисел p, q та цілих a, b.

Запитання (ГР1.1): Які з наведених тотожностей є правильними (істинними) властивостями степеня? (Оберіть усі правильні варіанти)

1. p^a \cdot p^b = p^{a+b}
2. p^a \cdot p^b = p^{a \cdot b}
3. (p^a)^b = p^{a+b}
4. {\left(\frac{p}{q}\right)}^{a} = \frac{p^a}{q^a} \quad (q \neq 0)
5. (p \cdot q)^a = p^a + q^a

---

4. Завдання (На співставлення 3×5) [Задача ↔ Ключовий етап]

(Створено на основі скриншотів: image_cf2f80.jpg, image_cf2114.jpg, image_cf1d57.png)

Запитання (ГР1.1): Встановіть відповідність між математичною задачею (1–3) та ключовим етапом або умовою (А–Д), необхідною для її розв’язання.

Умова задачі	Ключовий етап / Умова
1. Відняти дроби з різними знаменниками: \frac{6}{a^2-4} - \frac{4}{a+2}	А. Записати число у вигляді a \cdot 10^n, де 1 \le a < 10[/katex].</td> </tr> <tr> <td style="padding: 8px;"><strong>2.</strong> Знайти корені рівняння, де дріб дорівнює нулю: [katex]\frac{x^3-16x}{x+4} = 0	Б. Помножити чисельник і знаменник на спряжений вираз.
3. Записати число 740000 у стандартному вигляді.	В. Знайти спільний знаменник, розклавши a^2-4 на множники.
	Г. Скласти систему: чисельник = 0, знаменник \neq 0.
	Д. Перенести десяткову кому вліво на 4 знаки.

Правильні відповіді: 1–В, 2–Г, 3–А.

Розв'яжіть рівняння:

1) \frac{2}{x+1}+3=\frac{x}{x+1};	4) \frac{x}{x-5}-\frac{5}{x+5}=\frac{12x^2}{x^2-25};
2) \frac{4}{x-2}-1=\frac{7-x}{x-2};	5) \frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+4}=\frac{x^2+9}{(x-1)(x+4)};
3) \frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}=\frac{5x^2}{x^2-4};	6) \frac{4}{x+3}-\frac{4}{x-1}=\frac{x^2-5}{(x+3)(x-1)}.

Розв'яжіть рівняння:

1) \frac{a}{a+2} = \frac{a-1}{a};	3) \frac{z}{z-2} = \frac{5z+1}{5z};	5) \frac{p+1}{3-p} = \frac{4p-2}{1-4p};
2) \frac{y-3}{y} = \frac{y}{y+4};	4) \frac{b-4}{b-1} = \frac{b+1}{b+2};	6) \frac{k-2}{1-k} = \frac{3k+1}{1-3k}.

Розв'яжіть рівняння:

1) \frac{x-7}{x+3}=0;	3) \frac{3x+15}{x+10}=0;	5) \frac{x^2-49}{x-7}=0;	7) \frac{25-x^2}{3x+15}=0;
2) \frac{x-1}{x+4}=0;	4) \frac{5x+20}{x+12}=0;	6) \frac{x^2-81}{x+9}=0;	8) \frac{49-x^2}{4x-28}=0.

\frac{M}{N} = 0, коли \begin{cases} M = 0, \\ N \neq 0. \end{cases} У таких випадках кажуть, що рівняння \frac{M}{N} = 0 рівносильне системі \begin{cases} M = 0, \\ N \neq 0. \end{cases}

Знайдіть область допустимих значень змінної рівняння:

1) \frac{3y-1}{y}=0;	3) \frac{p^2}{(p-3)(p+7)}=p;
2) \frac{a+2}{a+8}=5;	4) \frac{1}{m}+\frac{5m^2}{m-4}=3.

Перевірте, чи є число 5 коренем рівняння:

1) \frac{x-5}{4}=0;	3) \frac{(p-5)(p+1)}{p+1}=0;
2) \frac{30}{z}-1=0;	4) \frac{k-5}{(k-5)(k-1)}=0.

Назвіть цілі та дробові раціональні рівняння:

1) \frac{5}{x} = 10;	3) \frac{z+2}{5} = \frac{3z}{2};	5) \frac{10}{p} - \frac{p}{10} = 0;
2) \frac{a}{3} + 5 = 0;	4) \frac{8-y}{y} = \frac{y}{3};	6) \frac{5m^2}{9} = \frac{2}{3};

Цілі раціональні рівняння	Дробові раціональні рівняння
1) 4(x - 2) + 3x = x + 10;	1) \frac{4}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x};
2) \frac{x + 1}{4} - \frac{x - 3}{8} = 2;	2) \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{x + 4} = \frac{32}{x^2 - 16};

Назвіть пари рівносильних рівнянь:

1) 5x = 20 \text{ i } 3x - 12 = 0;	3) (b - 6)(b + 6) = 0 \text{ i } b^2 = 36;
2) y - 4 = 0 \text{ i } y(y - 4) = 0;	4) p^2 = -4 \text{ i } 7p + 1 = 5 + 7p.

Обсяг даних	Час (хв) на спільну роботу	Час (хв) виконання поодинці		Продуктивність виконання поодинці		Рівняння
		Старий сервер	Новий сервер	Старий сервер	Новий сервер
1	x	15	10	\frac{1}{15}	\frac{1}{10}	\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{1}{x}

Новий дрон		Старіша модель		Рівняння
Швидкість (км/год)	Час (год)	Швидкість (км/год)	Час (год)
y	\frac{40}{y}	y-2	\frac{35}{y-2}	\frac{40}{y} = \frac{35}{y-2}

Визначте порядок виконання дій у виразі та спростіть його:

1) (\frac{1}{3x}+\frac{1}{x}) \cdot \frac{x}{8}	3) (\frac{x}{y}+\frac{5}{x}) \cdot \frac{x^2}{x^2+5y}	5) (\frac{a}{b^2}-\frac{1}{a}) \cdot \frac{5ab}{a+b}
2) (\frac{1}{y}-\frac{1}{5y}) \cdot \frac{y}{10}	4) (\frac{a}{b}-\frac{4}{a}) \cdot \frac{b^3}{a^2-4b}	6) (\frac{1}{x}-\frac{x}{y^2}) \cdot \frac{4xy}{y-x}

Виконайте ділення дробів:

1) \frac{x^3}{x+7} : \frac{x^2}{7+x}	3) \frac{5-a}{a^4} : \frac{a-5}{a^2}	5) \frac{30x^3}{(x-2)^2} : \frac{5x^4}{(2-x)^2}	7) \frac{(2-x)^4}{24x^7} : \frac{(x-2)^3}{8x^3}
2) \frac{y^4}{9+y} : \frac{y^2}{y+9}	4) \frac{b-8}{b^5} : \frac{8-b}{b^2}	6) \frac{15y^5}{(4-y)^2} : \frac{45y^3}{(y-4)^2}	8) \frac{(a-1)^4}{7a^3} : \frac{(1-a)^5}{49a^9}

1. Виконайте ділення дробів:

1) \frac{x}{5} : \frac{x}{25}	3) \frac{14}{a^5} : \frac{14}{a^2}	5) \frac{x^5}{18b^3} : \frac{x^2}{6b^3}	7) \frac{32c^4}{d^3} : \frac{8c^8}{d^5}
2) \frac{30}{y} : \frac{15}{y}	4) \frac{b^2}{4} : \frac{b^4}{4}	6) \frac{24p^3}{q^2} : \frac{4p^3}{q^6}	8) \frac{n^3}{8b^2} : \frac{n^6}{32b^5}

Подайте вираз у вигляді дробу:

1) (\frac{5}{x})^3	3) (-\frac{x}{4y})^3	5) (\frac{3m}{nc^2})^3	7) (-\frac{4m^4}{3nb^3})^3
2) (\frac{7}{y})^3	4) (-\frac{p}{5q})^3	6) (\frac{4b}{p^2q^3})^3	8) (-\frac{2p^5}{5qb^2})^3

1. Виконайте множення:

1) \frac{10}{x} \cdot \frac{x}{5}	3) \frac{y^2}{7} \cdot \frac{7}{y}	5) \frac{15x^3}{y^4} \cdot \frac{y}{5x^3}	7) \frac{36x^4}{20y^3} \cdot \frac{10y^8}{6x^7}
2) \frac{5}{b} \cdot \frac{b}{15}	4) \frac{9}{c} \cdot \frac{c^3}{9}	6) \frac{8n^2}{m^2} \cdot \frac{m^5}{24n^2}	8) \frac{21p^{12}}{16q^9} \cdot \frac{4q^5}{7p^9}

1. Виконайте дії:

1) \frac{15x^3}{x-4} \cdot \frac{?}{10x^2} = \frac{3x}{2}	3) \frac{5}{m}-\frac{1}{n}	5) \frac{1}{5a}+\frac{3}{b}	7) \frac{6}{7a}-\frac{b}{3c}
2) \frac{1}{5}+\frac{1}{a}	4) \frac{2}{c}-\frac{1}{d}	6) \frac{4}{m}+\frac{1}{6n}	8) \frac{3}{5m}-\frac{n}{7p}

2. Виконайте дії та спростіть вираз:

1) \frac{1}{a-3}+\frac{1}{3-a}	3) \frac{1}{y}-\frac{5}{5y+1}	5) \frac{8}{1-2a}+\frac{8}{1+2a}	7) \frac{a+5}{a-5}-\frac{a-5}{a+5}
2) \frac{1}{4-b}+\frac{1}{b}	4) \frac{1}{m}-\frac{4}{4m+1}	6) \frac{5}{1-4b}+\frac{5}{1+4b}	8) \frac{y-6}{y+6}-\frac{y+6}{y-6}

1. Виконайте дії:

1) \frac{1}{a}+\frac{1}{3a}	3) \frac{1}{3m}-\frac{1}{6m}	5) \frac{4}{3a}+\frac{1}{9a^2}	7) \frac{5}{12c^3}-\frac{2}{8c^2}
2) \frac{1}{4a}+\frac{1}{a}	4) \frac{1}{6m}-\frac{1}{12m}	6) \frac{1}{10b^2}+\frac{8}{5b}	8) \frac{4}{9d^2}-\frac{2}{6d^3}

Виконайте дії:

1) 1+\frac{4}{x-4}	3) 6-\frac{30}{x+4}	5) 2+\frac{15-2x}{x-8}	7) \frac{4m^2-m}{4m-3}-m
2) \frac{5}{x-5}+1	4) 3-\frac{15}{x+7}	6) 4+\frac{25-4x}{x-6}	8) \frac{6n^2-5n}{6n-5}-n