Основи математики

Властивості степеня із цілим показником

§9. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ ІЗ ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ
↩
УЧОРА Ви працювали з виразами, що містять степені з натуральними показниками.
➡
СЬОГОДНІ Ви вивчите властивості степенів із цілими показниками для спрощення складних виразів.
🔄
ЗАВЖДИ Ви зможете застосовувати ці знання в фізиці, біології та при роботі з великими даними.
АКТУАЛЬНА ЗАДАЧА
АЛГЕБРА Й ЦІКАВІ ФАКТИ ПРО ЛЮДИНУ
Ріст волосся Потреба в кальції Кількість гемоглобіну
Швидкість росту волосся становить 4,2 \cdot 10^{-4} м за добу. Якою буде довжина волосся через 8 років? Прийміть 1 рік за 365 днів. Підлітку потрібно 1,4 г кальцію щодня. Скільки грамів малини слід з’їсти, якщо в 1 г малини міститься 0,0008 г кальцію? У 1 \text{ мм}^3 крові міститься 7 \cdot 10^6 еритроцитів. Кожен має 2 \cdot 10^8 молекул гемоглобіну. Скільки їх у 3 л крові?
Розв’язання:
1) 365 \cdot 8 = 2920 = 2,92 \cdot 10^3 – дні;
2) (4,2 \cdot 10^{-4}) \cdot (2,92 \cdot 10^3) м. 		Розв’язання:
1) 0,0008 = 8 \cdot 10^{-4} ;
2) 1,4 : (8 \cdot 10^{-4}) г. 		Розв’язання:
1) 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^6 \text{ мм}^3 ;
2) (7 \cdot 10^6) \cdot (2 \cdot 10^8) \cdot (3 \cdot 10^6) .

Для розв’язання цих задач потрібно:

  • виконувати дії з числами в стандартному вигляді;
  • застосовувати переставний і сполучний закони;
  • використовувати властивості степенів.

Пригадаємо властивості степеня з натуральним показником (m, n \in N) :

a^m \cdot a^n = a^{m+n}
a^m : a^n = a^{m-n}
(a^m)^n = a^{mn}
(ab)^n = a^n b^n
\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad b \neq 0
КЛЮЧОВІ ТЕРМІНИ
  • Добуток степенів (product of powers)
  • Частка степенів (quotient of powers)
  • Степінь степеня (power of a power)
ГОЛОВНА ІДЕЯ

Властивості степеня з відмінною від нуля основою та цілим показником такі самі, як і властивості степеня з натуральним показником.

Властивості степенів з однаковими основами
Множення степенів з однаковими основами
Властивість 1 Правило множення степенів з однаковими основами
Для будь-якого a \neq 0 та будь-яких цілих чисел m і n справджується рівність: a^m \cdot a^n = a^{m+n} При множенні степенів з однаковими основами, відмінними від нуля, основу залишають тією самою, а показники степенів додають.
Наприклад:
c^{-7} \cdot c^{15} = c^{-7+15} = c^8
a = a^1

a \cdot a^{-8} = a^1 \cdot a^{-8} = a^{1-8} = a^{-7}
k^{-5} \cdot k^{-2} \cdot k = k^{-5-2+1} = k^{-6}
5^{-3} \cdot 5^3 = 5^{-3+3} = 5^0 = 1
4^{-8} \cdot 4 = 4^{-8} \cdot 4^1 = 4^{-8+1} = 4^{-7}
(-3)^{-4} \cdot (-3)^{-4} = (-3)^{-4-4} = (-3)^{-8}
⚙
РОЗМИНКА 1
  1. Подайте у вигляді степеня добуток:
    1) a^{-4} \cdot a^{11}
    2) b^7 \cdot b^{-9}
    3) x \cdot x^{-5}
    4) y^{-8} \cdot y^{-3}
    5) k \cdot k^{-2} \cdot k^7
  2. Застосуйте правило множення степенів та обчисліть значення виразу:
    1) 2^{-6} \cdot 2^9
    2) 4^5 \cdot 4^{-7}
    3) 0,2^{10} \cdot 0,2^{-10}
    4) 10 \cdot 10^{-4} \cdot 10^6
Ділення степенів з однаковими основами
Властивість 2 Правило ділення степенів з однаковими основами
Для будь-якого a \neq 0 та будь-яких цілих чисел m і n справджується рівність: a^m : a^n = a^{m-n} \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} При діленні степенів з однаковими основами, відмінними від нуля, основу залишають тією самою, а від показника степеня діленого віднімають показник степеня дільника.
Наприклад:
x^{11} : x^{-3} = x^{11-(-3)} = x^{14}
z^{-8} : z = z^{-8} : z^1 = z^{-8-1} = z^{-9}
k^{-5} : k^{-7} = k^{-5-(-7)} = k^2
3^4 : 3^{-12} = 3^{4-(-12)} = 3^{16}
6 : 6^5 = 6^1 : 6^5 = 6^{1-5} = 6^{-4}
10^{-4} : 10^{-6} = 10^{-4-(-6)} = 10^2 = 100
⚙
РОЗМИНКА 2
  1. Запишіть частку у вигляді степеня:
    1) b^{-8} : b^5
    2) c^9 : c^{-4}
    3) x^{-12} : x
    4) y : y^{-6}
    5) k^{-18} : k^{-7}
  2. Обчисліть значення виразу:
    1) 3^4 : 3^{-5}
    2) 10^{-8} : 10^{-4}
    3) 5^{-6} : 5^{-7}
    4) 9^{-3} : 9
    5) 6 : 6^{-4}
! СЛІД ЗНАТИ!
a^m : a^n = a^{m-n} ; a^{m-n} = a^m : a^n
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ; a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}
Ця властивість поширюється також на частку трьох і більше степенів:
b^m : b^n : b^k = b^{m-n-k} , b \neq 0
Піднесення степеня до степеня
Властивість 3 Правило піднесення степеня до степеня
Для будь-якого a \neq 0 та будь-яких цілих чисел m та n справджується рівність: (a^m)^n = a^{mn} При піднесенні степеня до степеня основу залишають тією самою, а показники степенів перемножують.
Наприклад:
(a^{-4})^5 = a^{(-4) \cdot 5} = a^{-20}
(b^7)^{-3} = b^{7 \cdot (-3)} = b^{-21}
((x^{-3})^{-2})^4 = x^{(-3) \cdot (-2) \cdot 4} = x^{24}
(5^3)^{-2} = 5^{3 \cdot (-2)} = 5^{-6}
(c^{-5})^{-4} = c^{(-5) \cdot (-4)} = c^{20}
((-3)^{-2})^3 = (-3)^{(-2) \cdot 3} = (-3)^{-6}
! СЛІД ЗНАТИ!
(a^m)^n = a^{mn} = a^{nm}
a^{mn} = (a^m)^n = (a^n)^m
Правильною є й така рівність:
((a^m)^n)^k = a^{m \cdot n \cdot k}, \quad a \neq 0
Стратегія
  1. Записуємо числа у вигляді степеня з відповідними основами:
    32 = 2^5; \quad 49 = 7^2; \quad 125 = 5^3
  2. Застосовуємо властивості множення:
    a \cdot b = b \cdot a; \quad a(bc) = (ab)c
  3. Застосовуємо властивості степеня:
    a^m \cdot a^n = a^{m+n}; \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
⚙
РОЗМИНКА 3
  1. Виконайте піднесення до степеня:
    1) (x^{-3})^5
    2) (4^2)^{-4}
    3) (a^{-6})^{-3}
    4) (k^{-1})^8
    5) ((c^4)^{-3})^{-2}
  2. Запишіть вираз b^{-30} у вигляді степеня з основою:
    1) b^3
    2) b^{-5}
    3) b^6
    4) b^{15}
ПРИКЛАД 1
Виконайте дії:
1) множення 3^{-4} \cdot a^{-5}b^4 \cdot 81 a^6 b^{-6} , якщо a \neq 0, b \neq 0 ;
Розв’язання:
3^{-4} a^{-5} b^4 \cdot 3^4 a^6 b^{-6} = (3^{-4} \cdot 3^4)(a^{-5} \cdot a^6)(b^4 \cdot b^{-6}) =
= 3^0 \cdot a^1 \cdot b^{-2} = 1 \cdot a \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{a}{b^2}
✎
ТРЕНУЄМОСЯ 1
Виконайте множення і ділення:
1) 4^{-1} x^5 \cdot 16 x^{-4}
2) 25 a^{-4} : (5 a^2)
3) 5 a^{-4} b^2 \cdot 25 a^5 b^{-3}
4) 49 x^{-2} y : (7 x y^{-3})
5) 36 c^{-3} : (6 c^2)
6) 121 y^{-5} : (11 y^{-2})
ПРИКЛАД 2
Обчисліть значення виразу \frac{2^{-4} \cdot 16^{-2}}{8^{-5}} .
Розв’язання
\frac{2^{-4} \cdot 16^{-2}}{8^{-5}} = \frac{8^5}{2^4 \cdot 16^2} = \frac{(2^3)^5}{2^4 \cdot (2^4)^2} = \frac{2^{15}}{2^4 \cdot 2^8} = \frac{2^{15}}{2^{12}} = 2^{15-12} = 2^3 = 8.
✎
ТРЕНУЄМОСЯ 2
Обчисліть значення виразу:
1) 25 \cdot 5^{-3}
3) 2 \cdot 4^{-3}
5) \frac{3^{-5}}{9^{-3}}
7) \frac{2^{-4} \cdot 32^{-1}}{8^{-3}}
2) 27 \cdot 3^{-4}
4) 5 \cdot 25^{-2}
6) \frac{7^{-8}}{49^{-4}}
8) \frac{9^{-4}}{3^{-6} \cdot 27^{-1}}
Стратегія
1) Застосовуємо формули:
a^{-n} = \frac{1}{a^n} ; \frac{1}{a^{-n}} = a^n
2) Записуємо всі степені з основою 2:
16 = 2^4 ; 8 = 2^3
3) Застосовуємо властивості:
(a^m)^n = a^{mn}
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
ПРИКЛАД 3
Спростіть вираз \frac{a^3 \cdot (a^4)^{-2}}{(a^{-3})^3} , якщо a \neq 0 .
Розв’язання
\frac{a^3 \cdot (a^4)^{-2}}{(a^{-3})^3} = \frac{a^3 \cdot a^{4 \cdot (-2)}}{a^{-3 \cdot 3}} = \frac{a^3 \cdot a^{-8}}{a^{-9}} = \frac{a^{3+(-8)}}{a^{-9}} = \frac{a^{-5}}{a^{-9}} = a^{-5-(-9)} = a^4.
✎
ТРЕНУЄМОСЯ 3
Спростіть вираз, якщо a \neq 0 :
1) \frac{a \cdot a^{-3}}{a^{-2}}
3) \frac{a^{-8}}{a^{-6} \cdot a^3}
5) \frac{a^3 \cdot a^{-5}}{(a^2)^{-1}}
7) \frac{(a^2)^{-3}}{a^3 \cdot (a^3)^{-4}}
2) \frac{a^{-2} \cdot a^2}{a^{-1}}
4) \frac{a^{-10}}{a^4 \cdot a^{-3}}
6) \frac{a^{-4} \cdot a^3}{(a^5)^{-1}}
8) \frac{(a^3)^{-5}}{a^4 \cdot (a^4)^{-6}}
Стратегія
Визначаємо порядок дій:
1) піднесення степеня до степеня:
(a^m)^n = a^{mn}
2) множення степенів:
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
3) ділення степенів:
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
Властивості степенів із різними основами
Степінь добутку двох множників
Властивість 4 Правило піднесення добутку до степеня
Для будь-яких a \neq 0, b \neq 0 та довільного цілого числа n справджується рівність: (ab)^n = a^n \cdot b^n При піднесенні добутку до степеня треба піднести до цього степеня кожний із множників і результати перемножити.
Наприклад:
(x \cdot y)^{-5} = x^{-5} \cdot y^{-5}
(3k)^{-4} = 3^{-4} k^{-4}
(5 \cdot m \cdot n)^{-2} = 5^{-2} m^{-2} n^{-2}
(3 \cdot 7)^{-8} = 3^{-8} \cdot 7^{-8}
((-2) \cdot 5)^{-6} = (-2)^{-6} \cdot 5^{-6}
(4 \cdot 8 \cdot 3)^{-3} = 4^{-3} \cdot 8^{-3} \cdot 3^{-3}
Розділ 1
! СЛІД ЗНАТИ!
(ab)^n = a^n \cdot b^n
a^n \cdot b^n = (ab)^n
Ця властивість поширюється також на степінь добутку трьох і більше множників:
(abc)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n ,
a \neq 0 , b \neq 0 , c \neq 0
⚙
РОЗМИНКА 4
  1. Подайте у вигляді добутку степенів вираз:
    1) (xy)^{-3} ;
    2) (4m)^{-2} ;
    3) (-3k)^{-5} ;
    4) (-pq)^{-6} ;
    5) (6ab)^{-4} .
  2. Обчисліть раціональним способом:
    1) 4^{-3} \cdot (0,25)^{-3} ;
    2) 5^{-2} \cdot (0,2)^{-2} ;
    3) (20)^{-3} \cdot (-0,05)^{-3} .
ПРИКЛАД 4
Подайте:
1) степінь у вигляді добутку: (0,2a^4b^{-5})^{-3} , якщо a \neq 0 , b \neq 0 ;
2) добуток у вигляді степеня з показником 3: 125x^{-9}y^{-15} , якщо x \neq 0 , y \neq 0 .
Розв’язання
1) Підносимо до степеня кожний із множників. Виконуємо дії.
(0,2a^4b^{-5})^{-3} = (0,2)^{-3} \cdot (a^4)^{-3} \cdot (b^{-5})^{-3} = = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} \cdot a^{-12} \cdot b^{15} = 5^3 a^{-12} b^{15} = 125a^{-12}b^{15}.
2) Подаємо кожний із множників у вигляді куба одночлена. Перетворюємо добуток степенів на степінь добутків.
125x^{-9}y^{-15} = 5^3 \cdot (x^{-3})^3 \cdot (y^{-5})^3 = (5x^{-3}y^{-5})^3.
a^n \cdot b^n \cdot c^n = (abc)^n
! СЛІД ЗНАТИ!
Усі властивості можна використовувати як у прямому, так і у зворотному порядку.
✎
ТРЕНУЄМОСЯ 4
Подайте:
1) степінь у вигляді добутку, якщо змінні не дорівнюють нулю:
а) (0,2m^4)^{-3} ;
б) (0,5n^3)^{-2} ;
в) (0,25a^{-2}b^4)^{-2} ;
г) (0,125p^5q^{-2})^{-1} ;
2) добуток у вигляді степеня з показником n (змінні не дорівнюють нулю):
а) 64a^{-8} ; 81b^{-10} , якщо n = 2 ;
б) 64m^{-6}n^{-12} ; 125p^{-9}q^{-15} , якщо n = 3 .
Наприклад:
\left(\frac{3x}{7y}\right)^{-5} = \frac{(3x)^{-5}}{(7y)^{-5}}
(p:q)^{-3} = p^{-3} : q^{-3}
\left(\frac{3}{8}\right)^{-4} = \frac{3^{-4}}{8^{-4}}
(12:0,4)^{-7} = 12^{-7} : (0,4)^{-7}
Степінь частки
Властивість 5 Правило піднесення дробу (частки) до степеня
Для будь-яких a \neq 0 , b \neq 0
та довільного цілого числа n
справджується рівність
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} ; \quad (a:b)^n = a^n : b^n
Виконуючи піднесення до степеня дробу, слід піднести до цього степеня окремо чисельник та окремо знаменник і записати перший результат у чисельник, а другий – у знаменник нового дробу.
103
§ 9
⚙
РОЗМИНКА 5
Запишіть вираз у вигляді частки степенів:
1) \left(\frac{3}{4}\right)^{-4} ;
2) \left(\frac{x}{y}\right)^{-2} ;
3) \left(\frac{-7}{b}\right)^{-3} ;
4) \left(\frac{m}{-5}\right)^{-5} ;
5) \left(\frac{1}{8}\right)^3 ;
6) \left(\frac{1}{k}\right)^6 .
🔍
ДОСЛІДЖУЄМО
1) Проаналізуйте інформацію, подану в таблиці – запис виразів різними способами.
2) Які властивості та формули було застосовано?
Вираз Вигляд запису виразу
Частка степенів із від’ємними показниками Степінь із додатним показником Частка степенів із додатними показниками Добуток степенів
\left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \frac{3^{-4}}{7^{-4}} \left(\frac{7}{3}\right)^4 \frac{7^4}{3^4} 3^{-4} \cdot 7^4
\left(\frac{x}{y}\right)^{-6} \frac{x^{-6}}{y^{-6}} \left(\frac{y}{x}\right)^6 \frac{y^6}{x^6} x^{-6} \cdot y^6
Запишіть різними способами вирази: \left(\frac{5}{m}\right)^{-4} ; \left(\frac{1}{k}\right)^{-7} ; \left(\frac{z}{4}\right)^5 .
📖
ПРИКЛАД 5
Обчисліть: \left(1\frac{1}{3}\right)^{-2} \cdot \left(2\frac{1}{4}\right)^{-3} .
Розв’язання
\left(1\frac{1}{3}\right)^{-2} \cdot \left(2\frac{1}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^3 = \frac{3^2 \cdot 4^3}{4^2 \cdot 9^3} = \frac{3^2 \cdot 4^3}{4^2 \cdot (3^2)^3} = \frac{4}{3^4} = \frac{4}{81}.
Відповідь: \frac{4}{81} .
✎
ТРЕНУЄМОСЯ 5
Обчисліть:
1) 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{-1} ;
5) \left(\frac{9}{5}\right)^{-2} : \left(1\frac{4}{5}\right)^{-1} ;
2) 13 \cdot \left(\frac{1}{13}\right)^{-1} ;
6) \left(\frac{13}{8}\right)^{-2} : \left(1\frac{5}{8}\right)^{-1} ;
3) \left(\frac{3}{14}\right)^{-2} \cdot 14^{-2} ;
7) \left(3\frac{1}{4}\right)^{-2} : 3,25^{-3} ;
4) \left(\frac{4}{15}\right)^{-2} \cdot 15^{-2} ;
8) \left(4\frac{2}{5}\right)^{-3} : 4,4^{-4} .
!
СЛІД ЗНАТИ!
(a : b)^n = a^n : b^n
a^n : b^n = (a : b)^n
↘ ЗВЕРНІТЬ УВАГУ!
Вираз із цілим показником можна переносити із чисельника в знаменник і навпаки, змінюючи знак показника степеня на протилежний.
\frac{a^{-m}}{b^{-n}} = \frac{b^n}{a^m}
Стратегія
1) Перетворюємо основи степеня в неправильні дроби:
1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} ; 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} .
2) Застосовуємо формулу:
\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n} ,
a \neq 0, b \neq 0 .
3) Множимо дроби.
4) Застосовуємо властивість:
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , a \neq 0 :
\frac{4^3}{4^2} = 4 ; \frac{3^2}{9^3} = \frac{3^2}{(3^2)^3} = \frac{1}{3^4} .
5) Скорочуємо дроби, обчислюємо.