Основи математики

Типи чисел. Робочий зошит Алгебра 7 – 9 клас #1

ВАЖЛИВО

Розділ 1

0,0008
^ ^
3 200
^ ^
0

Арифметичні
Властивості

1
Глава 1
ТИПИ ЧИСЕЛ

Усі числа можна класифікувати за групами. В українській школі ми виділяємо три основні категорії раціональних чисел:

НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА (N) : Це числа, які ми використовуємо для лічби предметів (цілі та додатні).

Приклади: 1, 5, 24, 150, 2026, \dots

ЦІЛІ ЧИСЛА (Z) : Включають у себе всі натуральні числа, протилежні їм від’ємні числа та число нуль.

Приклади: \dots, -25, -7, 0, 3, 12, \dots

РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА (Q) : Будь-яке число, яке можна записати як дріб \frac{m}{n} , де m — ціле число, а n — натуральне.

Пам’ятай: ділити на 0 не можна, тому знаменник не може бути нулем!

Приклади:

  • \frac{5}{8} = 0,625
  • 0,(3) — нескінченний періодичний дріб, що дорівнює \frac{1}{3}
  • -14 — можна записати як \frac{-14}{1}
  • 7,25 — можна записати як \frac{725}{100} або \frac{29}{4}
2

ІРРАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА: Множина всіх чисел, які не є раціональними. Це числа, які неможливо представити у вигляді відношення двох цілих чисел (звичайного дробу). Якщо записати ірраціональне число у вигляді десяткового дробу, то він буде нескінченним та неперіодичним.

Приклади: \sqrt{2} = 1,41421356237... \quad \pi = 3,141592653...

“…” означає, що число продовжується нескінченно.

0,8 НЕ є ірраціональним числом, бо це скінченний дріб.

0,123123123... НЕ є ірраціональним числом, бо цифри повторюються (періодичний дріб).

ДІЙСНІ ЧИСЛА: Множина всіх чисел на числовій прямій. Дійсні числа включають усі раціональні та ірраціональні числа. Це можуть бути нуль, додатні або від’ємні цілі числа, десяткові дроби, звичайні дроби тощо.

Приклади: 12, -45, 0, \frac{5}{4}, \sqrt{13}, \sqrt{36}, \pi, \dots

Числа, менші за нуль, розташовані ліворуч від 0 на числовій прямій.
ТИ ТАК ДАЛЕКО!
0,0005
^ ^
2 500
^ ^
Числа, більші за нуль, розташовані праворуч від 0 на числовій прямій.
0
4

Ось як усі типи чисел поєднуються в нашу систему чисел:

Дійсні числа
Раціональні числа
Цілі числа
Натуральні
числа
Ірраціональні
числа
Приклад: -5 є цілим числом, раціональним числом та дійсним числом.

Інші приклади:

  • 36 — натуральне, ціле, раціональне та дійсне.
  • 0 — ціле, раціональне та дійсне.
  • \frac{4}{9} — раціональне та дійсне.
  • 8,125 — раціональне та дійсне.
  • \sqrt{7} = 2,64575131... — ірраціональне та дійсне.
5
ДЕСЯТКОВІ ФОРМИ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Будь-яке раціональне число можна представити у вигляді десяткового дробу. Такі дроби бувають двох видів:

СКІНЧЕННІ ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ

Це дроби, які мають кінцеву кількість цифр після коми (вони просто “закінчуються”).

Приклади:

\frac{2}{5} = 0,4 (тільки одна цифра після коми)
\frac{3}{8} = 0,375 (три цифри після коми)

ПЕРІОДИЧНІ ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ

Це нескінченні дроби, у яких одна або декілька цифр повторюються нескінченно в одному і тому самому порядку.

Період дробу — це цифра або група цифр, що повторюються. В Україні період прийнято записувати в круглих дужках або позначати рискою над цифрами.

Нові приклади:

0,4444... = 0,(4) або 0,\overline{4}
0,151515... = 0,(15) або 0,\overline{15}
\frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8(3) (тут повторюється тільки трійка)

Важливо запам’ятати:

Усі раціональні числа можна записати або як скінченні, або як періодичні десяткові дроби. Якщо ж дріб нескінченний і не має періоду — це ірраціональне число.

6
ПЕРЕВІР СВОЇ ЗНАННЯ
  • Яке з наведених чисел є ірраціональним?
    • (A) 0,(6)
    • (B) 0,4
    • (C) \sqrt{5}
    • (D) -9
  • До якої категорії найкраще віднести число 0,212121... ?
    • (A) Раціональні числа
    • (B) Ірраціональні числа
    • (C) Цілі числа
    • (D) Натуральні числа
  • Чи є число \sqrt{49} дійсним числом?
    • (A) Так
    • (B) Ні
  • Яка з назв найкраще описує число -7 ?
    • (A) Натуральне число
    • (B) Ціле число
    • (C) Ірраціональне число
    • (D) Жодне з перелічених
  • Чи є число \sqrt{3} раціональним?
    • (A) Так
    • (B) Ні
  • До якої категорії належить число 0 ?
    • (A) Тільки цілі
    • (B) Тільки раціональні
    • (C) Цілі, раціональні та дійсні
    • (D) Ірраціональні
  • Яке з наведених чисел є скінченним десятковим дробом?
    • (A) \frac{1}{6}
    • (B) 0,333...
    • (C) 0,125
    • (D) \pi
  • Яка множина чисел НЕ є підмножиною раціональних чисел?
    • (A) Цілі числа
    • (B) Натуральні числа
    • (C) Ірраціональні числа
    • (D) Усі є підмножинами
  • Чи є число 4,444... раціональним?
    • (A) Так
    • (B) Ні
  • Який опис найкраще підходить для числа \sqrt{13} ?
    • (A) Раціональне, бо це корінь
    • (B) Дійсне та ірраціональне
    • (C) Ціле
    • (D) Натуральне
7
ВІДПОВІДІ
1. (C) \sqrt{5} Корінь з неквадратного числа є нескінченним неперіодичним дробом.
2. (A) Раціональні числа Число має період (21), тому воно раціональне.
3. (A) Так \sqrt{49} = 7 . Усі цілі числа є дійсними.
4. (B) Ціле число Від’ємні числа без дробової частини належать до цілих ( Z ).
5. (B) Ні \sqrt{3} неможливо записати як відношення двох цілих чисел.
6. (C) Цілі, раціональні та дійсні Нуль входить до всіх цих множин одночасно.
7. (C) 0,125 Це число має кінцеву кількість знаків після коми.
8. (C) Ірраціональні числа Ірраціональні та раціональні числа — це дві окремі множини.
9. (A) Так Це періодичний десятковий дріб, отже він раціональний.
10. (B) Дійсне та ірраціональне Оскільки 13 не є квадратом цілого числа, його корінь ірраціональний.
8