Основи математики

Алгебраїчні властивості. Робочий зошит Алгебра 7-9 клас #2

Глава 2
Алгебраїчні властивості

ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ

Переставна властивість додавання та переставна властивість множення вказують на те, що при додаванні або множенні двох чисел порядок доданків чи множників не впливає на кінцевий результат.

Поміркуй: «Переставляти» означає змінювати місце. Ми можемо міняти числа місцями, і значення виразу від цього не зміниться.

ПЕРЕСТАВНА ВЛАСТИВІСТЬ ДОДАВАННЯ

Стверджує, що для будь-яких двох чисел a і b : a + b = b + a

Це рівноцінні числові вирази. Це означає, що ліва і права частини математичної рівності мають однакову величину.

Приклад: 4 + 7 = 7 + 4

=
1 \frac{4}{9} + 3 \frac{2}{5} = 3 \frac{2}{5} + 1 \frac{4}{9}
9

ПЕРЕСТАВНА ВЛАСТИВІСТЬ МНОЖЕННЯ

Стверджує, що для будь-яких двох чисел x і y : x \cdot y = y \cdot x

Приклад: 3 \cdot 5 = 5 \cdot 3

=
Переставні властивості діють тільки для додавання та множення; вони не працюють для віднімання та ділення.

Сполучна властивість додавання та сполучна властивість множення вказують на те, що при додаванні або множенні трьох чисел порядок їх групування не змінює результат.

СПОЛУЧНА ВЛАСТИВІСТЬ ДОДАВАННЯ

Стверджує, що для будь-яких трьох чисел a , b і c : (a + b) + c = a + (b + c)

Наприклад, суму 2 + 5 + 6 можна обчислити двома способами:

(2 + 5) + 6 = 7 + 6 = 13
+
+
↖
Групування не має значення.
Сума залишається однаковою.
↙
2 + (5 + 6) = 2 + 11 = 13
+
+
10

СПОЛУЧНА ВЛАСТИВІСТЬ МНОЖЕННЯ

Стверджує, що для будь-яких трьох чисел a , b та c : (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Наприклад, вираз 3 \cdot 5 \cdot 4 можна обчислити двома способами:

(3 \cdot 5) \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60
↖
Групування не має значення.
Добуток залишається однаковим.
↙
3 \cdot (5 \cdot 4) = 3 \cdot 20 = 60
Сполучні властивості діють тільки для додавання та множення; вони не працюють для віднімання та ділення.

Яка різниця між переставною та сполучною властивостями?

Переставна властивість стосується порядку чисел.

Сполучна властивість стосується групування чисел.

11
Поміркуй: «Розподіляти» означає роздавати або ділитися чимось з кожним учасником групи.

РОЗПОДІЛЬНА ВЛАСТИВІСТЬ МНОЖЕННЯ ВІДНОСНО ДОДАВАННЯ стверджує, що результат множення числа на суму буде таким самим, як і сума результатів множення цього числа на кожний доданок окремо.

  • Розподільну властивість зручно використовувати під час множення числа на суму двох або більше чисел.

Для будь-яких трьох чисел a , b та c :

a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Ми РОЗПОДІЛЯЄМО множник a до кожного доданка в дужках: спочатку до b , а потім до c .

Суть властивості:

Додавання двох чисел у дужках з наступним множенням цієї суми на число за дужками дає той самий результат, що й окреме множення цього числа на кожен доданок з подальшим додаванням отриманих добутків.
=
+
4 \cdot (3 + 2) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 2
12

ПРИКЛАД: Використай розподільну властивість, щоб розкрити дужки та спростити 4(5 + 9) .

4(5 + 9) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 9 розкриваємо дужки

= 20 + 36 = 56 спрощуємо

РОЗПОДІЛЬНА ВЛАСТИВІСТЬ МНОЖЕННЯ ВІДНОСНО ВІДНІМАННЯ стверджує, що ми отримаємо однаковий результат, коли множимо число на різницю або коли множимо це число на кожен компонент різниці окремо, а потім віднімаємо їх.

Для будь-яких трьох чисел a, b та c : a(b - c) = a \cdot b - a \cdot c

Отже, a(b - c) = a \cdot b - a \cdot c

ПРИКЛАД: Використай розподільну властивість, щоб розкрити дужки та спростити 5(12 - 8) .

5(12 - 8) = 5 \cdot 12 - 5 \cdot 8 = 60 - 40 = 20
13

Розподільну властивість також можна застосовувати до виразів з кількома доданками.

Щоб розкрити дужки у виразі a(b + c - d) :

a(b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d = ab + ac - ad

ПРИКЛАД: Використай розподільну властивість, щоб розкрити дужки та спростити 5(3 - 2 + 6) .

5(3 - 2 + 6) = 5(3) - 5(2) + 5(6)

= 15 - 10 + 30 = 35

Важливо: Розподільна властивість НЕ діє для ділення!

Приклади:

a \div (b + c) \neq a \div b + a \div c

60 \div (10 + 2) \neq 60 \div 10 + 60 \div 2

(Перевір: 60 \div 12 = 5 , але 6 + 30 = 36 . Результати не рівні!)
14
Перевір свої знання

Для завдань 1–4 назви використану властивість.

1. 6 \cdot 9 = 9 \cdot 6
3. \frac{1}{3} \cdot (4 \cdot \frac{2}{5}) = (\frac{1}{3} \cdot 4) \cdot \frac{2}{5}
2. (x + y) + \frac{1}{4} = x + (y + \frac{1}{4})
4. 0 + 15 = 15 + 0

Для завдань 5–6 визнач, чи правильно застосовано властивість.

  • Використай сполучну властивість, щоб ствердити: \frac{1}{5} \div 8 = 8 \div \frac{1}{5}
  • Використай сполучну властивість, щоб ствердити: 9 + 4 - 2 можна обчислити як:
    (13 - 4) - 2 або 13 - (4 - 2)

    • Для завдань 7–10 використай розподільну властивість, щоб розкрити дужки, та спрости вираз.

    7. 3(5 + 9)
    9. 5(12 - 3 + 6)
    8. a(b) - a(15) = ab - 15a
    10. p(q) - p(r) + p(8) = pq - pr + 8p
    15
    Перевір свої відповіді
    1. Переставна властивість множення
    2. Сполучна властивість додавання
    3. Сполучна властивість множення
    4. Переставна властивість додавання
    5. Неправильно. Сполучну та переставну властивості не можна використовувати для ділення.
    6. Неправильно. Вираз дає різні результати при зміні порядку дій.
    7. 3(5) + 3(9) = 15 + 27 = 42
    8. ab – 15a
    9. 5(12) – 5(3) + 5(6) = 60 – 15 + 30 = 75
    10. pq – pr + 8p
    📖
    16