Контрольна робота 2. Теорема Фалеса, середні лінії трикутника та трапеції 8 клас

Контрольна робота 2. Трапеція, Вписані та описані чотирикутники, Теорема Фалеса, Середня лінія трикутника, Середня лінія трппеції. Оцінювання здійснюється за групами результатів (ГР)

1. Умова: Дано рівнобедрену трапецію, у якої різниця протилежних кутів дорівнює 100°. Нехай x — гострий кут цієї трапеції, а y — її тупий кут.
Запитання: Яка система рівнянь дозволяє правильно знайти гострі кути (x) трапеції?

\begin{cases} y - x = 100 \\ y + x = 180 \end{cases}

\begin{cases} y - x = 100 \\ x + x = 180 \end{cases}

\begin{cases} y + x = 100 \\ y - x = 180 \end{cases}

\begin{cases} x + y = 100 \\ y = x + 100 \end{cases}

2. На малюнку прямі $M_1D_1$ і $M_2D_2$ паралельні. Відомо, що $QM_1 = D_1D_2$ і $QM_1 = 9$ см. Знайдіть довжину відрізка $QM_2$ .

3. Сценарій: Учень розв’язував задачу: “Паралельні прямі BC і DE перетинають сторони кута A, AB=6 см, AE=4 см, CE=2 см. Потрібно знайти довжину відрізка BD.“
Розв’язок учня:
1. Оскільки точка C лежить між A і E, то AC = AE – CE = 4 – 2 = 2 см.
2. Ми бачимо, що AC = CE = 2 см.
3. Оскільки $BC \parallel DE$ і AC = CE, то за теоремою Фалеса, маємо рівність: BD = CE.
4. Підставимо відомі значення: BD = 2 см.
Запитання: На якому кроці учень припустився помилки?

Крок 1 (Неправильно знайдено довжину відрізка AC) Крок 2 (Помилковий висновок, що AC = CE) Крок 3 (Неправильно застосовано теорему Фалеса: мав бути висновок AB = BD) Крок 4 (Помилка під час підстановки значення у рівність)

4. Умова: Навколо паралелограма описано коло. Одна з діагоналей (d) цього паралелограма дорівнює 5 см.
Запитання: Оберіть правильний математичний вираз, який дозволяє знайти радіус (R) описаного кола.

R = 5 / 2 R = 5 R = 5 – 2 Визначити неможливо.

5. Знайдіть кути P і L чотирикутника APLB, вписаного в коло, якщо $\angle A = 150^{\circ}, \angle B = 80^{\circ}$ .

\angle P = 30^{\circ}, \angle L = 100^{\circ}

\angle P = 100^{\circ}, \angle L = 30^{\circ}

\angle P = 150^{\circ}, \angle L = 80^{\circ}

\angle P = 210^{\circ}, \angle L = 280^{\circ}

6. Сценарій: Учень отримав результат: “Середня лінія = -11 см”.
Запитання: Як слід інтерпретувати такий результат у контексті задачі?

Такий результат означає, що менша основа на 11 см коротша за бічну сторону. Результат є неможливим, оскільки довжина не може бути від’ємною, що вказує на помилку в обчисленнях. Задача не має розв’язків, оскільки периметр занадто малий. Такий результат означає, що трапеція є виродженою.

7. Умова: У трапецію ABCD (BC ∥ AD) можна вписати коло. На бічних сторонах AB та CD взято точки M та N. Розглядається новий чотирикутник AMND.
Запитання: Щоб обґрунтувати, “Чи можна вписати коло в чотирикутник AMND?”, які твердження є ключовими для аналізу? (Оберіть усі правильні варіанти)

Потрібно перевірити, чи виконується для AMND головна властивість: AM + ND = AD + MN. Потрібно перевірити, чи сума протилежних кутів AMND дорівнює 180°. Потрібно використати факт, що для трапеції ABCD вже виконується умова: AB + CD = BC + AD. Потрібно довести, що відрізок MN обов’язково є паралельним до основ. Потрібно з’ясувати, чи є M та N серединами бічних сторін.

8. Діагональ рівнобічної трапеції ділить гострий кут пополам, а її середню лінію на відрізки 5 см і 10 см. Знайдіть периметр трапеції.

9. Умова: “Основи трапеції дорівнюють 6 см і 14 см. Знайдіть довжину відрізка k, що сполучає середини її діагоналей.”
Запитання: Які з наведених дій дозволяють критично перевірити правильність будь-якого отриманого розв’язку (k)? (Оберіть 3 правильні відповіді)

Перевірити, чи є отриманий результат k меншим за середню лінію цієї трапеції. Перевірити, чи є отриманий результат k більшим за більшу основу (14 см). Перевірити, чи дорівнює сума k та меншої основи (6 см) середній лінії цієї трапеції. Перевірити, чи є отриманий результат k від’ємним числом. Перевірити, чи дорівнює k піврізниці основ, тобто

\frac{14-6}{2}

10. Встановіть відповідність між умовою задачі (1–3) та математичним виразом або рівнянням (А–Д), яке описує шлях до знаходження невідомої величини (x або P).

Умова задачі
1.	Середня лінія рівностороннього трикутника m = 6 см. Знайти P — периметр трапеції, яку ця середня лінія відтинає від трикутника.
2.	Середня лінія трапеції, описаної навколо кола, m = 5 см. Одна бічна сторона b₁ = 6 см. Знайти x — другу бічну сторону.
3.	Паралельні прямі перетинають сторони кута. На одній стороні OA = AC, на другій OB = 8 см. Знайти x — довжину відрізка BD (за теоремою Фалеса).

Вираз або рівняння
А.	x = 8
Б.	x = (6 + 5) · 2
В.	P = 5 · 6
Г.	P = 4 · 6
Д.	6 + x = 2 · 5

	А	Б	В	Г	Д
1.
2.
3.

11. Установіть відповідність між умовою задачі (1–3) та її числовим розв’язком (А–Г).

Умова задачі
1.	Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють 5 см, 6 см і 8 см.
2.	Знайдіть периметр трапеції, в яку вписано коло, якщо сума її основ дорівнює 20 см.
3.	Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її середня лінія 10 см, а одна основа утричі більша за іншу.

Розв’язок (у см)
А.	5
Б.	40
В.	38
Г.	15

	А	Б	В	Г
1.
2.
3.

12. Установіть відповідність між отриманим учнем результатом (1-3) та аналітичною оцінкою цієї ситуації (А-Д).

Результат або крок розв’язання
1.	При розв’язанні задачі “Основи трапеції 6 см і 14 см” учень отримав, що відрізок між серединами діагоналей дорівнює 10 см.
2.	При розв’язанні задачі про рівнобічну трапецію (де P=36, b-a=8) учень отримав проміжний результат “менша основа a = -7 см”.
3.	При розв’язанні задачі: “Відрізок середньої лінії трапеції між діагоналями 3 см, менша основа 3 см” учень отримав “більша основа b = 3 см”.

Аналітична оцінка
А.	Результат нереалістичний (від’ємна довжина), що вказує на помилку в розв’язанні.
Б.	Помилка у формулі: учень знайшов середню лінію ( $\frac{a+b}{2}$ ) замість відрізка між діагоналями ( $\frac{b-a}{2}$ ).
В.	Результат логічно суперечить умові (більша основа не може дорівнювати меншій).
Г.	Учень правильно знайшов бічну сторону, але сплутав її із середньою лінією.
Д.	Обчислювальна помилка при діленні на 2.

	А	Б	В	Г	Д
1.
2.
3.

Відповіді до тестових завдань доступні для вчителів з розширеним доступом.

КР2. Теорема Фалеса, Середня лінія трикутника. 8 клас