Підсумкова контрольна робота з алгебри 8 клас за 1 семестр

1. Дано вираз: $\frac{5a}{a-10}$ . Яка умова визначає допустимі значення змінної $a$ для цього виразу?

a - 10 = 0

a - 10 \neq 0

5a \neq 0

a > 0

2. Обчисліть: $2^2 : 2^{-2}$ .

3. Сценарій: Учень записав число 7 000 000 у стандартному вигляді як $70 \cdot 10^5$ .
Запитання: Яку вимогу означення стандартного вигляду числа ( $a \cdot 10^n$ ) порушив учень?

Показник степеня

n

має бути від’ємним числом. Множник

a

повинен задовольняти умову

1 \le a < 10

, а число 70 є більшим за 10. Число

a

обов’язково має бути дробовим. Для великих чисел стандартний вигляд не використовується.

4. Виконується ділення: $\frac{3m^3}{m^2-9} : \frac{m^2}{m+3}$ . Який вираз є правильним першим кроком перетворення цієї дії (перехід до множення)?

\frac{3m^3}{m^2-9} \cdot \frac{m^2}{m+3}

\frac{m^2-9}{3m^3} \cdot \frac{m^2}{m+3}

\frac{3m^3}{m^2-9} \cdot \frac{m+3}{m^2}

\frac{3m^3}{m^2-9} : \frac{m+3}{m^2}

5. Укажіть точку, через яку проходить графік функції $y = -\frac{36}{x}$ .

F(-7,2; -5)

D(4,5; -8)

C(-1,2; 3)

E(0,1; -3,6)

6. Сценарій: Учень розв’язував рівняння $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} = 0$ . Він прирівняв чисельник до нуля ( $x^2 - 4 = 0$ ) і записав відповідь: $x = \pm 2$ .
Запитання: Яку помилку він допустив у своїх висновках?

Помилка в першому кроці: чисельник треба було розкласти на множники. Учень проігнорував ОДЗ; корінь

x=2

перетворює знаменник на нуль, тому є стороннім. Помилка в обчисленні коренів рівняння

x^2 = 4

. Рівняння взагалі не має розв’язків.

7. Розглядаються властивості степеня з цілим показником ( $n \in \mathbb{N}, a \neq 0, b \neq 0$ ). Які з наведених рівностей є правильними? (Оберіть усі правильні варіанти)

\left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^{n}

a^{-n} = -a^n

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

a^0 = 0

a^n \cdot a^{-n} = 1

8. Установіть відповідність між виразами (1–3) та їх значеннями (А–Г) при заданих значеннях змінної.

Вираз
1.	$m^{-12} : m^{-10}$ при $m = -4$
2.	$m^{17} \cdot m^{-20}$ при $m = -\frac{1}{4}$
3.	$m^{-21} \cdot (m^{-10})^{-2}$ при $m = 4$

Значення
А.	$-\frac{1}{64}$
Б.	$\frac{1}{16}$
В.	$-64$
Г.	$\frac{1}{4}$

	А	Б	В	Г
1.
2.
3.

9. Сценарій: Учень спростив функцію $y = \frac{8x - 24}{x^2 - 3x}$ до вигляду $y = \frac{8}{x}$ і побудував графік гіперболи. Які твердження щодо зв’язку між початковою функцією та графіком є правильними? (Оберіть 2 правильні відповіді)

Область визначення початкової функції виключає числа 0 та 3 (

x \ne 0, x \ne 3

). Графік цієї функції — пряма лінія, а не гіпербола. На побудованому графіку гіперболи

y = \frac{8}{x}

точка з абсцисою

x=3

має бути “виколотою”. Графік повинен перетинати вісь Ox у точці 3. Після спрощення функція не має жодних обмежень на ОДЗ.

10. Установіть відповідність між прикладом виразу (1–3) та першим ключовим кроком (А–Д), необхідним для виконання дії додавання або віднімання.

Приклад виразу
1.	$\frac{3a^2}{5b} + \frac{7a^2+3}{5b}$
2.	$\frac{2-a}{ac} + \frac{b^2+7}{cb^2}$
3.	$\frac{6}{a^2-4} - \frac{4}{a+2}$

Ключовий крок
А.	Розкласти знаменник на множники за формулою різниці квадратів: $(a-2)(a+2)$ .
Б.	Додати чисельники, а спільний знаменник залишити без змін.
В.	Знайти спільний знаменник для одночленів, визначивши їх найменше спільне кратне ( $ab^2c$ ).
Г.	Додати чисельники до чисельників, а знаменники до знаменників.
Д.	Перемножити чисельники та знаменники між собою.

	А	Б	В	Г	Д
1.
2.
3.

11. Розв’яжіть рівняння $\frac{2x+13}{x-6} - \frac{x^2-2x-49}{6-x} = 0$ . Оберіть усі правильні твердження щодо його ОДЗ та коренів.

ОДЗ:

x \neq 6

ОДЗ:

x \neq -6

ОДЗ:

x

— будь-яке число Рівняння має два корені: 6 та -6 Рівняння має один корінь: 6 Рівняння має один корінь: -6

12. Установіть відповідність між виразом (1-3) та ключовою дією (А-Д), яка необхідна для початку його спрощення.

Вираз
1.	$\frac{1}{a-2} - \frac{2}{a^2 - 2a}$
2.	$\frac{16a}{4a^2 - 9} - \frac{2a + 3}{3a - 2a^2}$
3.	$\left(1 + \frac{5}{a}\right) : \frac{a+5}{9}$

Ключова дія
А.	Скорочення чисельника і знаменника дробу на спільний множник ( $a+5$ ) після перетворення ділення на множення.
Б.	Розкладання знаменника першого дробу за формулою різниці квадратів.
В.	Винесення спільного множника $a$ за дужки у знаменнику: $a(a-2)$ .
Г.	Множення обох частин виразу на $a^2$ .
Д.	Зведення до спільного знаменника в дужках, отримання чисельника $(a+5)$ .

	А	Б	В	Г	Д
1.
2.
3.